앞예 썼던 것 몇가지를 고쳐쓴다. 완전수의 기본 식을 확장 응용해, 짝수에서 완전수, 과잉수, 부족수를 찾는 식으로 확장하자고 제안한다.
먼저, 완전수는 2의n-1승 곱하기 메르센 솟수(2의n승-1)을 변형해. 메르센 솟수 자리에 솟수를 포함한 홀수x를 넣어준다.
2. 이때, x는 솟수만 해당하는 경우를 상정한다.
그러면 2의 n승과 x+1을 비교해 앞의 수가 크면 과잉수, 작으면 부족수, 같으면 완전수이다고 정의하면 된다.
단 기존에는 과잉수의 배수는 과잉수라고 정의한바, 완전수의 배수도 과잉수라고 바로잡아, 완전수나 과잉수의 배수는 과잉수이다고 하는 게 옳다. 즉 완전수 6의 배수는 과잉수인 겨우를 추가하는 것이다.
계속해서 x가 솟수 아닌 홀수이면 거듭제곱수인 경우, 식을 확장할 수 있다. 제곱수인 경우
2의 n승에 루트x를 곱해서 더해주고 x+1에 루트x를 더해주어 비교하면된다. 4곱하기 9의 경우
8에다가 8*3을 더하면 24이고 이때 x는 9이므로 1을 더하고 3을 더하면 13으로 과잉수인 것이다.
그러나 이렇게 식을 만들어가기가 복잡해진다. 그럴땐, 다시 완전수와 과잉수의 배수는 과잉수란 점을 들어 약수가 과잉수가 들어있으면, 과잉수인 것을 찾으면 된다.
어쨌든 다시 쓴 것의 핵심은 과잉수의 배수만 과잉수가 아니라 완전수의 배수도 과잉수이다는 것이며,
완전수 과잉수 부족수를 동시에 보일 수 있는 식의 도출에 관해서 재차 풀어본 것이다.
저 산은 내게 오지 마라 오지 마라 하고
발 아래 젖은 계곡 첩첩산중
저 산은 내게 잊으라 잊어버리라 하고
내 가슴을 쓸어내리네
아 그러나 한 줄기 바람처럼 살다 가고파
이 산 저 산 눈물 구름 몰고
다니는 떠도는 바람처럼
저 산은 내게 내려가라 내려가라 하네
지친 내 어깨를 떠미네